Cách tìm ma trận nghịch đảo

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số con đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. định nghĩa ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được call là ma trận đơn vị chức năng nếu A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp n

Ta phân biệt ma trận bên trên là tồn tại. Thiệt vậy, ma trận thỏa đk trên gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thiệt vậy, trả sử gồm hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị chức năng nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc đó, B được call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.Bạn đang xem: Ma trận nghịch hòn đảo 4x4

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 dấn xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vị giả sử lâu dài ma trận C vuông cấp cho n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại tại, có không ít giáo trình nước ngoài đã đề cập mang lại khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Cách tìm ma trận nghịch đảo

Thật vậy, đến A là ma trận cung cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ tồn tại ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải giả dụ tồn tại ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch ví như A khả nghịch trái cùng khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Vì chưng đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cung cấp 2 ta mọi có:


*

2. Tính chất:

1. Trường hợp A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Ví như A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ minh chứng kết trái trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2) được call là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) nếu E nhận được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép thay đổi sơ cấp dòng (cột). Những ma trận sơ cấp cái hay cột gọi bình thường là ma trận sơ cấp.

Xem thêm: Tải Photoshop Cc 2016 Full Crack Version 2020, Thẻ : Photoshop Cc 2016 Full Crack Vietdesigner

3.2 Tính chất: đầy đủ ma trận sơ cấp dòng (hay cột) số đông khả nghịch và nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cấp dòng.

Ta hoàn toàn có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 chiếc của ma trận đơn vị với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 2


Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi một số hữu hạn những phép đổi khác sơ cấp loại (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn đọc hoàn toàn có thể xem chứng minh định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch khi còn chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu như A khả nghịch thì In nhận ra từ A bởi một số hữu hạn các phép thay đổi sơ cấp mẫu (cột); đồng thời, thiết yếu dãy các phép đổi khác sơ cấp mẫu (cột) đó sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan search ma trận nghịch đảo bằng phép đổi khác sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch hòn đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp cho n bên trên K. Thuật toán này được phát hành dựa vào tác dụng thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện quá trình sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên đề xuất ma trận A


Lập ma trận chi khối cấp cho n x 2n

Bước 2: Dùng các phép đổi khác sơ cấp dòng để chuyển về dạng , trong số đó A’ là một trong ma trận bậc thang chính tắc.

– nếu như A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong thừa trình biến hóa nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 loại không thì lập tức tóm lại A ko khả nghịch (không rất cần phải đưa A’ về dạng thiết yếu tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: áp dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch đảo của: